Основні поняття, теореми, ознаки подільності натуральних чисел

Сторінка 2

Подільність суми, різниці та добутку

Теорема 1 (достатня умова подільності суми). Якщо кожний додаток ділиться на натуральне число n, то й його сума ділиться на це число.

Доведення.

Тому

Теорему доведено.

Зауваження. Обернене твердження невірне!

Тому подільність суми не є достатньою умовою для подільності доданків.

Теорема 2 (достатня умова подільності різниці). Якщо ділиться на n і , то теж ділиться на n.

Теорема 3 (необхідна й достатня умова подільності суми). Якщо однин з двох доданків ділиться на дане число, то щоб його сума ділилася на це число необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився на це число.

Доведення.

Достатність.

,.Тому

Необхідність.

Теорему доведено.

Теорема 4 (достатня умова подільності добутку) Якщо один з множників ділиться на натуральне число n, то й добуток ділиться на це число.

Доведення.

Теорему доведено.

Наслідок: якщо і то

1.2.2 Ознаки подільності чисел

Ознаки подільності на 2 і 5

Для того, щоб число ділилося на 2 (на 5), необхідно й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилося число його одиниць.

Доведення.

Запишемо число α у вигляді:

У кожному з цих доданків є множник 10, який ділиться на 2 і на 5, отже і кожен доданок ділиться на 2 і на 5 (теорема 4). Тоді й сума буде ділитися на 2 і на 5 (теорема 1). Отже, щоб сума ділилася на 2 або на 5, необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився відповідно на 2 або на 5 (теорема 3).

Ознаку доведено.

Наслідок: для того щоб число α ділилося на 2 (на 5) необхідно й достатньо, щоб воно закінчувалося однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8 (0, 5).

Ознаки подільності на 4 і 25

Для того щоб число ділилося на 4 (на 25) необхідно й достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми цифрами.

Доведення.

Число запишемо у вигляді суми двох доданків: . Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число α як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число утворене двома останніми цифрами числа .

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 3 і 9

Для того щоб число ділилося на 3 (на 9) необхідно й достатньо, щоб на 3 (на 9) ділилося сума цифр цього числа.

Доведення.

Запишемо число у вигляді: Оскільки то

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9. Отже, для того щоб число α ділилося на 3 або на 9, необхідно й достатньо, щоб сума однозначних чисел, виражених його цифрами (сума цифр) ділилася на 3 або 9.

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 6

Страницы: 1 2 3



Стратегічний напрямок розвитку сучасної системи освіти в Україні
Одним із стратегічних напрямків розвитку сучасної системи освіти у нашій країні є формування екологічної культури особистості, виховання у кожного школяра позитивного ставлення до навколишнього світу ...

Сутність та зміст процесів запам’ятовування
Навчальний процес має свої закони і закономірності, які визначають порядок досягнення цілей і завдань навчання, сприяють ефективному управлінню навчальною діяльністю, надають можливість передбачити р ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net