Основні поняття, теореми, ознаки подільності натуральних чисел

Сторінка 2

Подільність суми, різниці та добутку

Теорема 1 (достатня умова подільності суми). Якщо кожний додаток ділиться на натуральне число n, то й його сума ділиться на це число.

Доведення.

Тому

Теорему доведено.

Зауваження. Обернене твердження невірне!

Тому подільність суми не є достатньою умовою для подільності доданків.

Теорема 2 (достатня умова подільності різниці). Якщо ділиться на n і , то теж ділиться на n.

Теорема 3 (необхідна й достатня умова подільності суми). Якщо однин з двох доданків ділиться на дане число, то щоб його сума ділилася на це число необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився на це число.

Доведення.

Достатність.

,.Тому

Необхідність.

Теорему доведено.

Теорема 4 (достатня умова подільності добутку) Якщо один з множників ділиться на натуральне число n, то й добуток ділиться на це число.

Доведення.

Теорему доведено.

Наслідок: якщо і то

1.2.2 Ознаки подільності чисел

Ознаки подільності на 2 і 5

Для того, щоб число ділилося на 2 (на 5), необхідно й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилося число його одиниць.

Доведення.

Запишемо число α у вигляді:

У кожному з цих доданків є множник 10, який ділиться на 2 і на 5, отже і кожен доданок ділиться на 2 і на 5 (теорема 4). Тоді й сума буде ділитися на 2 і на 5 (теорема 1). Отже, щоб сума ділилася на 2 або на 5, необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився відповідно на 2 або на 5 (теорема 3).

Ознаку доведено.

Наслідок: для того щоб число α ділилося на 2 (на 5) необхідно й достатньо, щоб воно закінчувалося однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8 (0, 5).

Ознаки подільності на 4 і 25

Для того щоб число ділилося на 4 (на 25) необхідно й достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми цифрами.

Доведення.

Число запишемо у вигляді суми двох доданків: . Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число α як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число утворене двома останніми цифрами числа .

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 3 і 9

Для того щоб число ділилося на 3 (на 9) необхідно й достатньо, щоб на 3 (на 9) ділилося сума цифр цього числа.

Доведення.

Запишемо число у вигляді: Оскільки то

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9. Отже, для того щоб число α ділилося на 3 або на 9, необхідно й достатньо, щоб сума однозначних чисел, виражених його цифрами (сума цифр) ділилася на 3 або 9.

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 6

Страницы: 1 2 3



Засвоєння етичних норм
Дошкільний вік, займаючи за шкалою фізичного розвитку дитини період часу від трьох до шести років, вносить великий внесок до психічного розвитку дитини. За ці роки дитина набуває багато чого з того, ...

Фізична підготовленість, як основа фізичного стану людини
Фізична підготовка - одна з важливих складових частин як спортивного тренування, так і кожної фізичної роботи. Вона представляє собою процес, який спрямований на розвиток фізичних якостей - швидкісни ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net