Основні поняття, теореми, ознаки подільності натуральних чисел

Для того щоб число ділилося на 6 необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 2 і на 3.

Доведення.

1. Необхідність. Дано:

Довести:

1)

2) (транзитивність відношення подільності)

2. Достатність. Дано:

Довести:

- спільне кратне чисел 2 і 3 Але . Отже .

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 11

Число ділиться на 11 тоді й тільки тоді, коли різниця між сумою цифр цього числа, які розміщені на парних місцях і сумою цифр, що розміщені на непарних місцях, ділиться на 11.

Доведення.

Покажемо, що при довільному натуральному ѕ

(1)

Справді, при де .

Припустимо, що при Тоді при

, тобто де . Отже, на основі принципу математичної індукції, рівність (1) справедлива при довільному натуральному ѕ. Тому

,

де

Отже, Ѕ дорівнює різниці між сумою цифр числа Ν, які стоять на непарних місцях і сумою цифр цього самого числа, що стоять на парних місцях.

Отже робимо висновок: число Ν ділиться на 11 тоді й тільки тоді, коли різниця між сумою цифр цього числа, які розміщені на парних місцях і сумою цифр, що розміщені на непарних місцях, ділиться на 11.

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 7

Міркуючи як і раніше, встановлюємо:

Ці рівність можна дістати в результаті безпосередніх обчислень або комбінуючи вже відомі результати. Іноді роблять інакше: якщо відомо, що , то для того щоб знайти подають у вигляді отже, , де

Тоді Ν можна записати так: де

Звідси випливає висновок: число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли на 7 ділиться число:

Ознаку доведено.