Основні теореми про прості числа

Сторінка 1

Спостерігаючи за подільністю натуральних чисел, було помічено, що різні числа мають різну кількість дільників.

Означення 2. Натуральне число, яке ділиться на одиницю і само на себе називається простим. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Теорема 5. Найменший відмінний від 1 дільник числа є простим числом.

Доведення.

Нехай – найменший дільник

Припустимо, що р – складене, тоді тобто Маємо А це суперечить умові, що р – найменший дільник. Отже, р – просте число.

Теорему доведено.

Теорема 6. Будь-яке натуральне число ділиться принаймні на одне просте число.

Теорема 7. Якщо число складне, то найменший простий дільник числа не перевищує

Доведення. Нехай р – найменший простий дільник числа . Тоді де

Теорему доведено.

Ця теорема допомагає виявити прості і складені числа: якщо число α не ділиться на жодне просте число , то – просте число.

Теорема Евкліда. Не існує найбільшого натурального простого числа (множина простих чисел нескінченна).

Доведення.

Припустимо, що існує найбільше просте число р, тобто множина усіх простих чисел скінченна: . Розглянемо число . Це число не ділиться на жодне з чисел 2,3,5,…, р (теорема про подільність суми – необхідна й достатня умова). Тоді n або само просте, або ділиться на просте число, яке не належить множині . Отже, існують прості числа, більші за р.

Теорему доведено.

Основна теорема арифметики натуральних чисел. Будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.

Доведення.

Якщо n – просте, то твердження теореми виконується.

Існування розкладу.

Можливість існування розкладу натурального числа може бути доведена від супротивного. Припустимо, що існують натуральні числа, які не можуть бути розкладені лише на прості множники. Тоді повинно існувати найменше з таких чисел, позначимо його n. Це число не може бути одиницею в зв'язку з представленням одиниці як порожнього добутку, а також не може бути простим числом, бо просте число вже є результатом добутку одного простого числа, самого себе. Таким чином, n повинно бути складеним числом, яке, в свою чергу, можна представити у вигляді n = ab, де обидва a та b є натуральними числами меншими за n. Далі, тому що n є найменшим з чисел, яке не можна розкласти на прості множники, доходимо висновку, що множники a та b мають розкладатись в добутки простих чисел. Але, n = ab і в такому разі само повинно бути добутком виключно простих чисел. Отримуємо протиріччя.

Єдність розкладу.

Існує багато доведень єдності розкладу натуральних чисел, які відрізняються рівнями складності та загальності, але і тут можна скористатись доведенням від протилежного. Припустимо, що існують два розклади числа n на прості множники: .

Оскільки p1 є дільником лівої частини рівності, то він також повинен бути і дільником одного з множників qk в правій частині. Але qk є простим числом, а отже повинна бути справедливою тотожність p1 = qk. Скоротивши рівність на спільний множник p1 = qk, проведемо аналогічне зіставлення для множника p2, який теж буде дорівнювати одному з qk, що залишились після спрощення. В результаті, після скорочення всіх множників pі в лівій стороні рівності отримуємо 1. З іншого боку, через те що всі qk також є простими числами, праворуч також отримаємо одиницю. Отже, числа pі та qk попарно рівні, що доводить тотожність двох розкладів.

Страницы: 1 2



Підходи до вибору методу навчання читанню
Одне з найважливіших завдань початкової школи – формування у дітей навику читання, що є фундаментом всього подальшої освіти. Сформований навик читання включає як мінімум два основні компоненти: а) те ...

Самоконтроль і розвиток культури мовлення, створення установки на оволодіння літературною мовою в різних ситуаціях спілкування
Йдеться про виховання звички й потреби в постійному навчанні та підвищенні рівня культури свого мовлення. Особливу увагу при цьому слід приділяти дотриманню правильності й чистоти мови. Важливе значе ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net