Найменше спільне кратне чисел і способи його знаходження

Означення 6. Найменше спільне кратне. НСК двох цілих чисел a, b називаємо найменше натуральне число, яке є кратним обох цих чисел. Позначаємо НСК (a, b). Отже НСК (a, b) є найменшим натуральним числом, яке ділиться без залишку на обидва числа a, b.

Є різні способи знаходження спільного кратного кількох чисел.

У школі дається такий спосіб:

Для знаходження спільного кратного двох чисел треба:

розкласти дані числа на прості множники;

доповнити розклад одного з них тими множниками розкладу другого числа, яких немає в розкладі першого;

обчислити добуток знайдених множників.

Для доведення другого способу будуть потрібні такі теореми:

Теорема 10. Частки від ділення чисел a і b на їх найбільший спільний дільник d взаємно прості.

Теорема 11. Якщо добуток ab ділиться на с, причому b і c взаємно прості, то α ділиться на с.

Теорема 12. Найменше спільне кратне натуральних чисел a, b дорівнюють добутку цих чисел, поділеному на їх найбільший спільний дільник, тобто

Доведення.

Нехай Μ – будь-яке спільне кратне натуральне чисел a і b. Оскільки М ділиться на α, то , де – деяке натуральне число. Але М ділиться також і на b. Тому також є деяке натуральне число.

Позначимо найбільший спільний дільник НСД (α, b) чисел a і b через d.

Тоді, Оскільки є натуральне число і за теоремою 1 НСД()=1, то за теоремою 2 k ділиться на , тобто де t – деяке натуральне число. З викладеного вище випливає, що Отже, доведено, що будь-яке спільне кратне M чисел і можна записати у цій формі, тобто його можна дістати з цієї формули при певному значенні t. Очевидно, що й, навпаки, кожне число M цього виду є спільним кратним чисел і . Отже, ця формула дає загальний вигляд усіх спільних кратних чисел і .

Найменше спільне кратне чисел НСК() чисел і дістанемо, очевидно, при