Поняття похідної

Рис.1.4 До трактування сутності приросту аргументу та залежної функції

Запишемо неперервність функції через приріст аргументу і функції.

Нагадаємо,що функція є неперервною в точці , якщо при , тобто . Але якщо , то тобто (і навпаки, якщо , то тобто ), отже, умова еквівалентна умові . Аналогічно, твердження еквівалентне умові , тобто . Таким чином, функція буде неперервною в точці тоді і тільки тоді, коли при , тобто малій зміні аргументу в точці відповідають малі зміни значень функції. Саме через цю властивість графіки неперервних функцій зображаються неперервними (нерозривними) кривими на кожному з проміжків, що цілком входять до області визначення.

Похідною функції у точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна функції у точці позначається (або ) і читається: „Еф штрих у точці ”. Коротко означення похідної функції можна записати так:

Враховуючи означення приросту функції у точці , що відповідає приросту , означення похідної можна записати також так: