Поняття похідної

Рис.1.7 Дотична та січна до кривої

Дотичною до кривої в даній точці називається граничне положення січної . Щоб записати це означення за допомогою формул, будемо вважати, що крива - це графік функції а точка , яка знаходиться на графіку, задана своїми координатами Дотичною є деяка пряма, яка проходить через точку (рис.1.8).

Рис.1.8 Координатне визначення дотичної

Щоб побудувати цю пряму, достатньо знати кут нахилу дотичної до осі . Нехай точка (через яку проходить січна ) має абсцису . Коли точка , рухаючись по графіку функції , наближається до точки (це буде при )), то величина кута наближається до величини кута нахилу дотичної до осі . Оскільки то при значення наближається до , тобто

Фактично, ми прийшли до тієї самої задачі, яка зустрічалася при знаходженні миттєвої швидкості: знайти границю відношення виразу (де задана функція) при . Знайдене таким чином число називають похідною функції у точці

Як було обгрунтовано вище, тангенс кута нахилу дотичної в точці з абсцисою (рис.1.9) обчислюється за формулою . З іншого боку . Тоді