Поняття похідної

Рис.1.9 Геометричний зміст похідної та рівняння дотичної до графіка функції

Нагадаємо, що в рівнянні прямої кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі (кут відлічується від додатного напрямку осі проти годинникової стрілки). Отже, якщо кутовий коефіцієнт дотичної, то . Тобто:

"Значення похідної в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної (кут відлічується від додатного напрямку осі проти годинникової стрілки)".

Таким чином, якщо - рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою (і ординатою ), то . Тоді рівняння дотичної можна записати так: . Щоб знайти значення , врахуємо, що ця дотична проходить через точку Отже, координати точки задовольняють останньому рівнянню, тобто Звідси , і рівняння дотичної матиме вигляд: Його зручно записати так:

Це рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою . Зауваження. Кут , який утворює невертикальна дотична до графіка функції у точці з абсцисою з додатнім напрямком осі , може бути нульовим, гострим або тупим. Враховуючи геометричний зміст похідної, одержуємо, що у випадку, коли (тобто ), кут буде гострим, а у випадку, коли (тобто ), кут буде тупим. Якщо (тобто ), то (тобто дотична паралельна осі або співпадає з нею). І навпаки, якщо дотична до графіка функції у точці з абсцисою утворює з додатним напрямком осі гострий кут , то , якщо тупий кут - то , а якщо дотична паралельна осі або співпадає з нею (), то .