Механічний зміст похідної

Наведемо механічні задачі, які приводять до поняття похідної.

1. Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої.

Розглянемо задачу, відому з курсу фізики, - рух матеріальної точки вздовж прямої. Нехай координата точки в момент часу дорівнює . Як і в курсі фізики, будемо вважати, що рух відбувається неперервно (як це ми спостерігаємо в реальному житті). Спробуємо за відомою залежністю визначити швидкість, з якою рухається точка в момент часу (так звану миттєву швидкість). Розглянемо відрізок часу від до . Означимо середню швидкість на проміжку як відношення пройденого шляху до тривалості руху:

Для визначення миттєвої швидкості точки в момент часу , як робили на уроках фізики: візьмемо відрізок часу довжиною , обчислимо середню швидкість на цьому проміжку і почнемо зменшувати відрізок до нуля (тобто зменшувати відрізок і наближати до ). Ми помітимо, що значення середньої швидкості при наближенні до нуля буде наближатися до деякого числа, яке і вважається значенням швидкості в момент часу . Іншими словами, миттєвою швидкістю в момент часу називається границя відношення , якщо тобто

Наприклад, розглянемо вільне падіння тіла. З курсу фізики відомо, що в цьому випадку залежність шляху від часу задається формулою

1) Знайдемо спочатку

2) Знайдемо середню швидкість:

3) З’ясуємо, до якого числа прямує відношення при це і буде миттєва швидкість у момент часу . Якщо то оскільки величина стала, то . Останнє число і є значенням миттєвої швидкості в точці . Ми отримали відому з фізики формулу (тоді ). Використовуючи поняття границі, це можна записати так: . Розглянемо механічний зміст похідної. Записуючи означення похідної в точці для :

і співставляючи одержаний результат з поняттям миттєвої швидкості прямолінійного руху:

можна зробити висновок, що похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу.

Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції, яка виражає залежність пройденого шляху від часу ; прискорення нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції яка виражає залежність швидкості від часу .