Наведемо механічні задачі, які приводять до поняття похідної.
1. Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої.
Розглянемо задачу, відому з курсу фізики, - рух матеріальної точки вздовж прямої. Нехай координата точки в момент часу
дорівнює
. Як і в курсі фізики, будемо вважати, що рух відбувається неперервно (як це ми спостерігаємо в реальному житті). Спробуємо за відомою залежністю
визначити швидкість, з якою рухається точка в момент часу
(так звану миттєву швидкість). Розглянемо відрізок часу від
до
. Означимо середню швидкість на проміжку
як відношення пройденого шляху до тривалості руху:
Для визначення миттєвої швидкості точки в момент часу , як робили на уроках фізики: візьмемо відрізок часу довжиною
, обчислимо середню швидкість на цьому проміжку і почнемо зменшувати відрізок
до нуля (тобто зменшувати відрізок
і наближати
до
). Ми помітимо, що значення середньої швидкості при наближенні
до нуля буде наближатися до деякого числа, яке і вважається значенням швидкості в момент часу
. Іншими словами, миттєвою швидкістю в момент часу
називається границя відношення
, якщо
тобто
Наприклад, розглянемо вільне падіння тіла. З курсу фізики відомо, що в цьому випадку залежність шляху від часу задається формулою
1) Знайдемо спочатку
2) Знайдемо середню швидкість:
3) З’ясуємо, до якого числа прямує відношення при
це і буде миттєва швидкість у момент часу
. Якщо
то
оскільки величина
стала, то
. Останнє число і є значенням миттєвої швидкості в точці
. Ми отримали відому з фізики формулу
(тоді
). Використовуючи поняття границі, це можна записати так:
. Розглянемо механічний зміст похідної. Записуючи означення похідної в точці
для
:
і співставляючи одержаний результат з поняттям миттєвої швидкості прямолінійного руху:
можна зробити висновок, що похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу.
Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції, яка виражає залежність пройденого шляху
від часу
; прискорення
нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції яка виражає залежність швидкості
від часу
.
Методика роботи над друкованими літературними джерелами
Вивчення літературних джерел допомагає представити досліднику значущість обраної теми дослідження, визначити основоположні теоретичні і методологічні принципи її виконання. Методика роботи над літера ...
Педагогічні умови підготовки майбутніх вчителів до використання ІКТ у
майбутній професійній діяльності
Учені-педагоги визначають готовність майбутнього вчителя до застосування нових інформаційних технологій у професійній діяльності як інтегровану якість особистості майбутнього педагога, що виявляється ...
Читання як вид навчальної діяльності
Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>