Механічний зміст похідної

Якщо

- залежність пройденого шляху від часу, то

- швидкість прямолінійного руху

- прискорення прямолінійного руху.

Розглянемо зв’язок між диференційованістю і неперервністю функції.

Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці існує її похідна . Тобто при значення .

Для обгрунтування неперервності функції достатньо обгрунтувати, що значення .

Справді, при одержуємо: А це й означає,що функція неперервна. Отже, якщо функція диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку.

Відзначимо, що обернене твердження неправильне. Функція, яка неперервна на проміжку, може не мати похідної в деяких точках цього проміжку. Наприклад, функція (рис.1.10) неперервна при всіх значеннях , але вона не має похідної в точці

Рис.1.10 Неперервна функція без похідної в точці злому напрямку

Дійсно, якщо і то

Тому при відношення не має границі, а значить, і функція не має похідної в точці 0.

Зауваження. Той факт, що неперервна функція не має похідної в точці , означає, що до графіка цієї функції в точці з абсцисою не можна провести дотичної (або відповідна дотична перпендикулярна до осі ). Графік у цій точці матиме перелом. Наприклад, до графіка неперервної функції (рис.1.11) у точці з абсцисою не можна провести дотичну (а значить, ця функція не має похідної в точці 1). Дійсно, за означенням, дотична - це граничне положення січної. Якщо точка буде наближатися до точки по лівій частині графіка, то січна займе граничне положення Якщо ж точка буде наближатися до точки по правій частині графіка, то січна займе граничне положення Але це дві різні прямі, отже, у точці М дотичної до графіка даної функції не існує.

Рис.1.11 Неперервна функція без похідної в точці злому напрямку

Наведемо практичні приклади до даної частини.

1. Приклад 1. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою , до осі , якщо:

1)

2)

Розв’язання