Механічний зміст похідної

Сторінка 2

Якщо

- залежність пройденого шляху від часу, то

- швидкість прямолінійного руху

- прискорення прямолінійного руху.

Розглянемо зв’язок між диференційованістю і неперервністю функції.

Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці існує її похідна . Тобто при значення .

Для обгрунтування неперервності функції достатньо обгрунтувати, що значення .

Справді, при одержуємо: А це й означає,що функція неперервна. Отже, якщо функція диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку.

Відзначимо, що обернене твердження неправильне. Функція, яка неперервна на проміжку, може не мати похідної в деяких точках цього проміжку. Наприклад, функція (рис.1.10) неперервна при всіх значеннях , але вона не має похідної в точці

Рис.1.10 Неперервна функція без похідної в точці злому напрямку

Дійсно, якщо і то

Тому при відношення не має границі, а значить, і функція не має похідної в точці 0.

Зауваження. Той факт, що неперервна функція не має похідної в точці , означає, що до графіка цієї функції в точці з абсцисою не можна провести дотичної (або відповідна дотична перпендикулярна до осі ). Графік у цій точці матиме перелом. Наприклад, до графіка неперервної функції (рис.1.11) у точці з абсцисою не можна провести дотичну (а значить, ця функція не має похідної в точці 1). Дійсно, за означенням, дотична - це граничне положення січної. Якщо точка буде наближатися до точки по лівій частині графіка, то січна займе граничне положення Якщо ж точка буде наближатися до точки по правій частині графіка, то січна займе граничне положення Але це дві різні прямі, отже, у точці М дотичної до графіка даної функції не існує.

Рис.1.11 Неперервна функція без похідної в точці злому напрямку

Наведемо практичні приклади до даної частини.

1. Приклад 1. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою , до осі , якщо:

1)

2)

Розв’язання

Страницы: 1 2 3



Історичний розвиток університетів Іспанії
Іспанські університети - чи не найстаріші у світі. Найперший з них був заснований у Саламанці в 1218 році. Історики вважають, що король Леона Альфонс IX заснував його у відповідь на створення універс ...

Формування музично-творчих здібностей
Розвиток музикальності неодмінною умовою формування музичної культури дітей. Під музикальністю розуміється сукупність здібностей, необхідних для успішної музичної діяльності. Основна ознака музикальн ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net