Якщо
- залежність пройденого шляху від часу, то
- швидкість прямолінійного руху
- прискорення прямолінійного руху.
Розглянемо зв’язок між диференційованістю і неперервністю функції.
Якщо функція диференційована в точці
, то в цій точці існує її похідна
. Тобто при
значення
.
Для обгрунтування неперервності функції достатньо обгрунтувати, що
значення
.
Справді, при одержуємо:
А це й означає,що функція
неперервна. Отже, якщо функція
диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку.
Відзначимо, що обернене твердження неправильне. Функція, яка неперервна на проміжку, може не мати похідної в деяких точках цього проміжку. Наприклад, функція (рис.1.10) неперервна при всіх значеннях
, але вона не має похідної в точці
Рис.1.10 Неперервна функція без похідної в точці злому напрямку
Дійсно, якщо і
то
Тому при відношення
не має границі, а значить, і функція
не має похідної в точці 0.
Зауваження. Той факт, що неперервна функція не має похідної в точці
, означає, що до графіка цієї функції в точці з абсцисою
не можна провести дотичної (або відповідна дотична перпендикулярна до осі
). Графік у цій точці матиме перелом. Наприклад, до графіка неперервної функції
(рис.1.11) у точці
з абсцисою
не можна провести дотичну (а значить, ця функція не має похідної в точці 1). Дійсно, за означенням, дотична - це граничне положення січної. Якщо точка
буде наближатися до точки
по лівій частині графіка, то січна
займе граничне положення
Якщо ж точка
буде наближатися до точки
по правій частині графіка, то січна
займе граничне положення
Але це дві різні прямі, отже, у точці М дотичної до графіка даної функції не існує.
Рис.1.11 Неперервна функція без похідної в точці злому напрямку
Наведемо практичні приклади до даної частини.
1. Приклад 1. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції
у точці з абсцисою
, до осі
, якщо:
1)
2)
Розв’язання
Творча робота над задачею. Повторне розв'язування задач
Якщо задача повторно розв'язується відразу після запису останньої дії і відповіді, то це буде момент первинного закріплення. Мається на увазі повторне розв'язування через деякий час, через декілька д ...
Європейська система перезарахування кредитів - ECTS
Інформаційні пакети Система ECTS базується на трьох ключових елементах: інформації (стосовно навчальних програм і здобутків студентів), взаємної угоди (між закладами-партнерами і студентом) і викорис ...
Читання як вид навчальної діяльності
Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>