Застосування похідної при доведенні нерівностей

Диференціальне числення широко використовується при дослідженні функцій. За допомогою похідної можна знайти інтервали монотонності функції, її екстремальні точки, найбільші й найменші значення.

Якщо функція має додатну (від’ємну) похідну в кожній точці деякого інтервалу, то вона зростає (спадає) на цьому проміжку. При знаходженні проміжків монотонності потрібно мати на увазі, що якщо функція зростає (спадає) на інтервалі й неперервна в точках і, то вона зростає (спадає) на проміжку .

Якщо точка є точкою екстремума для функції f і в цій точці існує похідна, то . У точці екстремума функція може не мати похідну. Внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними. Щоб установити, чи має функція в даній критичній точці екстремум, користуються наступними достатніми ознаками існування екстремума.

Якщо функція неперервна в точці й існують такі точки що () на проміжку й () на проміжку , то точка є точкою максимуму (мінімуму) функції .

Для відшукання найбільших і найменших значень на проміжку досить зрівняти між собою значення в точках і в критичних точках з проміжка .

Ці результати застосовні при рішенні багатьох елементарних задач, пов'язаних з нерівностями.

Нехай, наприклад, потрібно довести, що на деякому проміжку має місце нерівність Позначимо через . За допомогою похідної знаходимо найменше значення на даному інтервалу. Якщо воно від’ємне, то у всіх точках розглянутого інтервалу , тобто