Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Теорема Ролля

Теорема 1 (Ролля). Нехай функція задовільняє наступним умовам:

1) функція неперервна на проміжку

2) функція диференційована на інтервалі

3) тоді існує точка .

Доведення

Нехай ,. По теоремі Вейерштраса числа які існують і існують точки й : . Якщо то й . Як точку беремо будь-яку крапку проміжка . Нехай . У силу 3 умови теореми маємо, що хоча б одна із крапок або є внутрішньою точкою проміжка . Нехай для визначеності , тоді точка буде точкою локального й у силу умови 2 теореми Ферма: . Покладемо й теорема доведена.

Теорема Ферма: Нехай функція диференційована в точці й має локальний екстремум. Тоді похідна функції в точки дорівнює нулю .

Геометричний зміст теореми Ролля: при виконанні умов теореми на проміжку існує точка , у якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис. На практиці частіше використовується наступне твердження теореми Ролля: між будь-якими двома нулями диференційованої функції існує хоча б один нуль у похідної.

Теорема Лагранжа

Теорема 2 (Лагранжа про середнє значення, або про кінцевий приріст). Якщо функція неперервна на проміжку й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка, то усередині проміжка найдеться точка така, що справедливо формулу [1]:

Доведення

Розглянемо допоміжну функцію . Функція буде неперервна на й вона буде диференційована на інтервалі . Обчислимо значення функції в точці :