Теорема Ролля
Теорема 1 (Ролля). Нехай функція задовільняє наступним умовам:
1) функція неперервна на проміжку
2) функція диференційована на інтервалі
3) тоді існує точка
.
Доведення
Нехай ,
. По теоремі Вейерштраса числа які існують і існують точки
й
:
. Якщо
то
й
. Як точку
беремо будь-яку крапку проміжка
. Нехай
. У силу 3 умови теореми маємо, що хоча б одна із крапок
або
є внутрішньою точкою проміжка
. Нехай для визначеності
, тоді точка
буде точкою локального
й у силу умови 2 теореми Ферма:
. Покладемо
й теорема доведена.
Теорема Ферма: Нехай функція диференційована в точці
й має локальний екстремум. Тоді похідна функції в точки
дорівнює нулю
.
Геометричний зміст теореми Ролля: при виконанні умов теореми на проміжку існує точка
, у якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис. На практиці частіше використовується наступне твердження теореми Ролля: між будь-якими двома нулями диференційованої функції існує хоча б один нуль у похідної.
Теорема Лагранжа
Теорема 2 (Лагранжа про середнє значення, або про кінцевий приріст). Якщо функція неперервна на проміжку
й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка, то усередині проміжка
найдеться точка
така, що справедливо формулу [1]:
Доведення
Розглянемо допоміжну функцію . Функція
буде неперервна на
й вона буде диференційована на інтервалі
. Обчислимо значення функції
в точці
:
Деякі проблемы змісту юридичної освіти у вищих навчальних закладах
Як відомо, ціль освіти - всебічний розвиток людини, як особистості і найвищої цінності суспільства. У той же час освіта є основою інтелектуального, культурного, духовного, соціального та економічного ...
Завдання складових всебічного розвитку особистості
Основними напрямками всебічного розвитку особистості є: громадянське виховання; розумове виховання; моральне виховання; екологічне виховання; статеве виховання; правове виховання; трудове виховання; ...
Читання як вид навчальної діяльності
Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>