Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 1

Теорема Ролля

Теорема 1 (Ролля). Нехай функція задовільняє наступним умовам:

1) функція неперервна на проміжку

2) функція диференційована на інтервалі

3) тоді існує точка .

Доведення

Нехай ,. По теоремі Вейерштраса числа які існують і існують точки й : . Якщо то й . Як точку беремо будь-яку крапку проміжка . Нехай . У силу 3 умови теореми маємо, що хоча б одна із крапок або є внутрішньою точкою проміжка . Нехай для визначеності , тоді точка буде точкою локального й у силу умови 2 теореми Ферма: . Покладемо й теорема доведена.

Теорема Ферма: Нехай функція диференційована в точці й має локальний екстремум. Тоді похідна функції в точки дорівнює нулю .

Геометричний зміст теореми Ролля: при виконанні умов теореми на проміжку існує точка , у якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис. На практиці частіше використовується наступне твердження теореми Ролля: між будь-якими двома нулями диференційованої функції існує хоча б один нуль у похідної.

Теорема Лагранжа

Теорема 2 (Лагранжа про середнє значення, або про кінцевий приріст). Якщо функція неперервна на проміжку й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка, то усередині проміжка найдеться точка така, що справедливо формулу [1]:

Доведення

Розглянемо допоміжну функцію . Функція буде неперервна на й вона буде диференційована на інтервалі . Обчислимо значення функції в точці :

Страницы: 1 2 3 4 5 6



Розвиток особистості у молодшому шкільному віці
Молодший шкільний вік характеризується початком кризи. Криза 7 років – це період народження соціального «Я» дитини. Зміна самосвідомості призводить до переоцінки цінностей. Змінюється сприймання свог ...

Особливості соціально-професійної адаптації молоді
Професійна адаптація - найважливіший етап процесу професійного самовизначення людини. На цьому етапі виявляються недоліки попередньої професійної орієнтації і професійної підготовки, здійснюється про ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net