Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 1

Теорема Ролля

Теорема 1 (Ролля). Нехай функція задовільняє наступним умовам:

1) функція неперервна на проміжку

2) функція диференційована на інтервалі

3) тоді існує точка .

Доведення

Нехай ,. По теоремі Вейерштраса числа які існують і існують точки й : . Якщо то й . Як точку беремо будь-яку крапку проміжка . Нехай . У силу 3 умови теореми маємо, що хоча б одна із крапок або є внутрішньою точкою проміжка . Нехай для визначеності , тоді точка буде точкою локального й у силу умови 2 теореми Ферма: . Покладемо й теорема доведена.

Теорема Ферма: Нехай функція диференційована в точці й має локальний екстремум. Тоді похідна функції в точки дорівнює нулю .

Геометричний зміст теореми Ролля: при виконанні умов теореми на проміжку існує точка , у якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис. На практиці частіше використовується наступне твердження теореми Ролля: між будь-якими двома нулями диференційованої функції існує хоча б один нуль у похідної.

Теорема Лагранжа

Теорема 2 (Лагранжа про середнє значення, або про кінцевий приріст). Якщо функція неперервна на проміжку й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка, то усередині проміжка найдеться точка така, що справедливо формулу [1]:

Доведення

Розглянемо допоміжну функцію . Функція буде неперервна на й вона буде диференційована на інтервалі . Обчислимо значення функції в точці :

Страницы: 1 2 3 4 5 6



Основні напрямки оптимізації психічного розвитку дитини-дошкільника
В останні роки спостерігаються деякі зміни в системі дошкільного виховання. З одного боку, різко збільшилося число дітей, що не відвідують дитячі сади, з іншого боку – активно розвиваються різні секц ...

Типи релігійних організацій
Усі релігії привертають громади віруючих, проте такі громади організовані багатьма різними способами. Один із способів класифікації релігійних організацій уперше запропонував Макс Вебер та його колег ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net