Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 2

Обчислимо значення функції в точці :

Одержуємо, що , тобто функція задовольняє всім умовам теореми Ролля, тоді існує : ,

Теорема доведена.

Геометричний зміст теореми Лагранжа: при виконанні умов теореми на інтервалііснує точка , у якій дотична до графіка функції в точці паралельна січній.

Наслідок 1. Нехай функція диференційована на й для всіх , тоді де для всіх .

Доведення

Нехай - дві довільні точки проміжка . По теоремі Лагранжа в застосуванні до проміжка існує точка : Але , тобто звідси треба , але тому що - дві довільні точки, то одержуємо необхідні доведення.

Наслідок доведений.

Наслідок 2. Нехай функції й диференційовані у всіх точках і , тоді .

Доведення

Розглянемо функцію допоміжну . Застосуємо до функції теорему Лагранжа на інтервалу . Одержуємо

де

наслідок доведений.

Теорема Коші

Теорема 3 (Коші). Якщо кожна із двох функцій і неперервна на проміжку й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка і якщо, крім того похідна відмінна від нуля всюди усередині проміжка , то усередині цього проміжка найдеться точка така, що справедлива формула:

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Дошкільні заклади в системі національної освіти
Дошкільна освіта є обов'язковою первинною складовою частиною системи безперервної освіти в Україні - сукупності навчально-виховних закладів, призначених для цілеспрямованого навчання і виховання, її ...

Використання комп'ютера на уроках
Діапазон використання комп’ютера в навчально-виховному процесі дуже великий: від тестування учнів, обліку їхніх особистісних особливостей до гри. Комп’ютер може бути як об’єктом вивчення, так і засоб ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net