Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 2

Обчислимо значення функції в точці :

Одержуємо, що , тобто функція задовольняє всім умовам теореми Ролля, тоді існує : ,

Теорема доведена.

Геометричний зміст теореми Лагранжа: при виконанні умов теореми на інтервалііснує точка , у якій дотична до графіка функції в точці паралельна січній.

Наслідок 1. Нехай функція диференційована на й для всіх , тоді де для всіх .

Доведення

Нехай - дві довільні точки проміжка . По теоремі Лагранжа в застосуванні до проміжка існує точка : Але , тобто звідси треба , але тому що - дві довільні точки, то одержуємо необхідні доведення.

Наслідок доведений.

Наслідок 2. Нехай функції й диференційовані у всіх точках і , тоді .

Доведення

Розглянемо функцію допоміжну . Застосуємо до функції теорему Лагранжа на інтервалу . Одержуємо

де

наслідок доведений.

Теорема Коші

Теорема 3 (Коші). Якщо кожна із двох функцій і неперервна на проміжку й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка і якщо, крім того похідна відмінна від нуля всюди усередині проміжка , то усередині цього проміжка найдеться точка така, що справедлива формула:

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Класифікація фізичних задач
Як відомо в першу чергу задачі діляться на кількісні та якісні. Якісними називаються задачі, у розв’язку яких визначаються якісні залежності між фізичними величинами. Для їх розв’язку не потрібні нія ...

Місце перекладу на рідну мову в роботі над текстом
При роботі над текстами підручника перед вчителем постає таке важливе питання: в якій мірі треба використовувати переклад на рідну мову? У практиці навчання іноземної мови можна іноді зустріти дві по ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net