Доведення
За умовою
витікає, що
. Справді, якщо припустити, що
, то в силу теореми Ролля існує точка
що суперечить умові.
Розглянемо допоміжну функцію:
Функція безперервна на проміжку
й диференційована в інтервалі
. Знайдемо значення функції
в точці
:
Тобто , По теоремі Ролля існує точка
:
.
Якщо зокрема одержуємо теорему Лагранжа. Теорема доведена.
Практичні приклади доведення нерівностей з застосуванням похідних
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність .
Розв’язання.
Наведемо коментар перед розв’язанням нерівності.
Задану нерівність не вдається розв’язати за допомогою рівносильних перетворень, тому використаємо метод проміжків. Для цього нерівність потрібно привести до виду де
- неперервна в кожній точці своєї області визначення функція (
неперервна функція, оскільки це многочлен).
Нагадаємо схему розв’язування нерівності методом проміжків.
Знайти ОДЗ нерівності.
Знайти нулі функції:
Позначити нулі на ОДЗ і знайти знак функції у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ.
Записати відповідь, враховуючи знак заданої нерівності.
Для знаходження нулів функції потрібно розв’язати рівняння , яке не вдається розв’язати за допомогою рівносильних перетворень, тому для його розв’язування доцільно використати властивості функції
, зокрема, її монотонність, яку можна обгрунтувати за допомогою похідної.
Задана нерівність рівносильна
.
Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення, тому для розв’язування нерівності можна використати метод інтервалів.
ОДЗ:
Нулі функції: Знайдемо похідну функції
Якщо позначити
, то
Але квадратний тричлен
має від ємний дискримінант, тоді для всіх
. Отже, для всіх
значення
Тоді функція
зростає на всій числовій прямій і рівняння
може мати тільки один корінь. Оскільки
то
=єдиний нуль функції
.
Інноваційні процеси у галузі освіти та їх
комплексне вивчення
Інноваційні процеси в галузі освіти виникали в різні історичні періоди й визначали її розвиток. Найбільш широкого масштабу вони досягли в кінці XIX - початку XX ст. в Росії, Німеччині, Франції та США ...
Педагогічна сутність проблеми формування і розвитку загально-трудових умінь
і навичок в учнів 6 класів при вивченні розділу «Електротехнічні роботи»
Згідно з “Стандартами загальної середньої освіти” трудова підготовка повинна вирішувати низку завдань навчально-виховного процесу, а саме: - формування в учнів політехнічного світогляду; - здійснення ...
Читання як вид навчальної діяльності
Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>