Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Доведення

За умовою витікає, що . Справді, якщо припустити, що , то в силу теореми Ролля існує точка що суперечить умові.

Розглянемо допоміжну функцію:

Функція безперервна на проміжку й диференційована в інтервалі . Знайдемо значення функції в точці :

Тобто , По теоремі Ролля існує точка :

.

Якщо зокрема одержуємо теорему Лагранжа. Теорема доведена.

Практичні приклади доведення нерівностей з застосуванням похідних

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання.

Наведемо коментар перед розв’язанням нерівності.

Задану нерівність не вдається розв’язати за допомогою рівносильних перетворень, тому використаємо метод проміжків. Для цього нерівність потрібно привести до виду де - неперервна в кожній точці своєї області визначення функція (неперервна функція, оскільки це многочлен).

Нагадаємо схему розв’язування нерівності методом проміжків.

Знайти ОДЗ нерівності.

Знайти нулі функції:

Позначити нулі на ОДЗ і знайти знак функції у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ.

Записати відповідь, враховуючи знак заданої нерівності.

Для знаходження нулів функції потрібно розв’язати рівняння , яке не вдається розв’язати за допомогою рівносильних перетворень, тому для його розв’язування доцільно використати властивості функції , зокрема, її монотонність, яку можна обгрунтувати за допомогою похідної.

Задана нерівність рівносильна

.

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення, тому для розв’язування нерівності можна використати метод інтервалів.

ОДЗ:

Нулі функції: Знайдемо похідну функції

Якщо позначити , то Але квадратний тричлен має від ємний дискримінант, тоді для всіх . Отже, для всіх значення Тоді функція зростає на всій числовій прямій і рівняння може мати тільки один корінь. Оскільки то =єдиний нуль функції .