Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 3

Доведення

За умовою витікає, що . Справді, якщо припустити, що , то в силу теореми Ролля існує точка що суперечить умові.

Розглянемо допоміжну функцію:

Функція безперервна на проміжку й диференційована в інтервалі . Знайдемо значення функції в точці :

Тобто , По теоремі Ролля існує точка :

.

Якщо зокрема одержуємо теорему Лагранжа. Теорема доведена.

Практичні приклади доведення нерівностей з застосуванням похідних

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання.

Наведемо коментар перед розв’язанням нерівності.

Задану нерівність не вдається розв’язати за допомогою рівносильних перетворень, тому використаємо метод проміжків. Для цього нерівність потрібно привести до виду де - неперервна в кожній точці своєї області визначення функція (неперервна функція, оскільки це многочлен).

Нагадаємо схему розв’язування нерівності методом проміжків.

Знайти ОДЗ нерівності.

Знайти нулі функції:

Позначити нулі на ОДЗ і знайти знак функції у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ.

Записати відповідь, враховуючи знак заданої нерівності.

Для знаходження нулів функції потрібно розв’язати рівняння , яке не вдається розв’язати за допомогою рівносильних перетворень, тому для його розв’язування доцільно використати властивості функції , зокрема, її монотонність, яку можна обгрунтувати за допомогою похідної.

Задана нерівність рівносильна

.

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення, тому для розв’язування нерівності можна використати метод інтервалів.

ОДЗ:

Нулі функції: Знайдемо похідну функції

Якщо позначити , то Але квадратний тричлен має від ємний дискримінант, тоді для всіх . Отже, для всіх значення Тоді функція зростає на всій числовій прямій і рівняння може мати тільки один корінь. Оскільки то =єдиний нуль функції .

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8



Загальна характеристика методів та прийомів, що використовуються під час слухання музики
Успішність формування музичного сприймання школярів залежить передусім від методичного забезпечення навчального процесу. Учитель – повинен володіти багатьма методами і прийомами, щоб обрати найдоціль ...

Форми організації занять у художньому гуртку: факультатив, предметний гурток, консультація, екскурсія
Педагогічна майстерність передбачає оволодіння різноманітними методами, формами, засобами навчання, за допомогою яких на кожному рівні реалізується зміст освіти. Розвиток пізнавальних здібностей учні ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net