Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

3. Відмічаємо нулі на ОДЗ і знаходимо знак у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ (рис.2.1)

Рис.2.1 Нулі на ОДЗ і знаки у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ

Відповідь:

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність

.

Наведемо перед розв’язанням нерівності коментар.

Спробуємо розв’язати задану нерівність методом проміжків. Для цього її потрібно звести до виду (де функція неперервна в кожній точці своєї області визначення).

При знаходженні нулів функції для розв’язування рівняння доцільно використати властивості відповідних функцій, зокрема, оцінку лівої і правої частин рівняння виду Значення функції легко оцінити і без застосування похідної, а для дослідження функції використаємо похідну. Зазначимо,що в даному випадку всередині ОДЗ ми не знайдемо жодного нуля функції (дивитися далі розв’язання: нулем є тільки крайня точка ОДЗ). Але метод проміжків працює і в цьому випадку тільки ми отримаємо єдиний інтервал в якому функція зберігає свій знак.

Розв’язання

Задана нерівність рівносильна нерівності

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення, тому для розв’язування нерівності (1) можна використати метод проміжків.

ОДЗ:

Нулі:

Це рівняння рівносильне рівнянню

Оцінимо значення функцій і , які стоять відповідно у лівій і правій частинах рівняння (2)

Оскільки то

Тоді

Дослідимо функцію на ОДЗ нерівність (1), тобто при . Функція неперервна на проміжку , тому вона буде набувати найбільшого і найменшого значень або на кінцях, або в критичних точках цього проміжка не існує в точці 3 проміжка , але ця точка не є внутрішньою точкою цього проміжка, отже вона не є критичною. З ясуємо коли .

Порівнюючи значення і , одержуємо, що ,Отже, Тоді рівняння (2) рівносильне системі . Оскільки 2 - найбільше значення функції яке досягається тільки при , то рівняння має тільки один корінь , який задовольняє і рівнянню (дійсно, ). Отже, функція має тільки один нуль: