Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 6

Наведемо розв’язання дозволяє виділити таку схему доведення нерівностей виду (або ) за допомогою похідної.

1. Розглянути допоміжну функцію (на її області визначення або на заданому проміжку)

2. Дослідити за допомогою похідної поведінку функції (зростання чи спадання або її найбільше чи найменше значення) на розглянутому проміжку.

3. Обгрунтувати (спираючись на поведінку функції ), що (або ) на розглянутому проміжку, і зробити висновок, що (або ) на цьому проміжку.

Зауважимо, що при доведенні деяких нерівностей цю схему доводиться використовувати декілька разів.

Приклад 3. Доведіть нерівність при

Наведемо перед розв’язком коментар.

Спробуємо використати похідну до доведення заданої нерівності. Для цього дослідимо функцію, яка є різницею лівої і правої частин нерівності:

.

Враховуючи, що ця функція неперервна на всій числовій прямій і достатньо довести, що на заданому проміжку функція зростає. (Тоді, враховуючи неперервність, вона буде зростати і на проміжку і на цьому проміжку х нерівності буде випливати нерівність яка рівносильна заданій). Для доведення того, що функція зростає на заданому інтервалі, достатньо довести, що її похідна . Якщо тепер позначити похідну як нову функцію , то нам потрібно довести нерівність , а для цього знову можна використаи наведені вище міркування.

Розв’язання.

Задана нерівність рівносильна нерівності . Розглянемо функцію . Ця функція неперервна на всій числовій прямій і має похідну . Тепер розглянемо функцію і доведемо, що на проміжку . Функція неперервна на всій числовій прямій і має похідну. Враховуючи, що одержуємо . Отже, функція зростає на всій числовій прямій і, зокрема, на проміжку . Тоді за означенням зростаючої функції при одержуємо, що Але Тобто при . Це означає, що функція зростає на проміжку , а враховуючи її неперервність, вона зростає також і на інтервалу . Тоді з нерівності буде випливати нерівність . Але отже, при всіх . Таким чином, на цьому проміжку виконується нерівність , а значить, і нерівність

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9



Перспективи створення інтегрованих систем управління ВНЗ
Протягом останніх років міжнародною організацією зі стандартизації (ISO) декілька разів розглядалось питання стосовно доцільності створення єдиного стандарту щодо управління організацією, який об”єдн ...

Теоретично – методологічні засади дидактичного забезпечення уроків біології
Пізнання й осмислення закономірностей освіти, навчання й виховання підростаючого покоління у процесі навчальної діяльності з часом завершилося виокремленням дидактики як галузі педагогіки, що дослідж ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net