Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 7

Приклад 4. Доведіть, що при всіх дійсних значеннях виконується нерівність

Наведемо перед розв’язанням нерівності коментар.

Використаємо похідну для доведення заданої нерівності. Для цього дослідимо функцію яка є різницею лівої і правої частин нерівності. Але при всіх дійсних значеннях ця функція не є ні зростаючою, ні спадною, і тому міркування, наведені при розв’язання попередніх прикладів, не можна використати. Тоді спробуємо в результаті дослідження знайти найбільше чи найменше значення функції на всій числовій прямій. Для цього можна використати властивість: якщо неперервна функція має на заданому проміжку тільки одну точку мінімуму, то на заданому проміжку функція набуває свого найменшого значення в точці . Далі користуємося тим, що коли в точці функція набуває найменшого значення на заданому проміжку, то для всіх значень із цього інтервалу (якщо необхідно, то можна також уточнити, що знак рівності досягається тільки в точці ).

Розв’язання.

Розглянемо функцію

Область визначення:

Похідна існує на всій області визначення. Отже, функція неперервна на всій числовій прямій; ,критична точка.

Відмічаємо критичну точку на області визначення функції і знаходимо знаки похідної та поведінку функції в кожному з одержаних проміжків (рис.2.3).

Рис.2.3 Нулі на ОДЗ і знаки у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ

Як бачимо, неперервна функція має на проміжку тільки одну критичну точку, і це точка мінімуму. Отже, у цій точці функція набуває свого найменшого значення на цьому проміжку. Тоді при усіх дійсних значеннях значення тобто Отже, при всіх дійсних значеннях

При доведенні числових нерівностей або для порівняння двох чисел часто буває зручно перейти до більш загальної функціональної нерівності.

Приклад 5. Порівняти числа і .

Наведемо коментар перед розв’язком нерівності.

Щоб скласти план розв’язування, можна міркувати так. Ми не знаємо, яке з заданих чисел більше: чи , тому в процесі аналізу поставимо між ними такий знак . Це знак нерівності, спрямований гострим кінцем униз, що свідчить про те, що ми не знаємо, у який бік його слід направити. Будемо виконувати перетворення нерівності до тих пір, поки не з ясуємо, яке число більше. Потім знак замінимо відповідним знаком нерівності: або , який і запишемо в розв’язанні. (У процесі аналізу, якщо на якомусь кроці перетворень потрібно поміняти знак нерівності, то знак змінюємо на знак , а в запису розв’язання у відповідному місці змінюємо знак нерівності). В аналізі запис теж будемо називати нерівністю (але, звичайно, не в розв’язанні)

Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9



Виявлення особливостей професійної інформації, консультації, професійного добору
Професійну інформацію можна визначити як психолого-педагогічну систему заходів щодо формування в особистості активної профорієнтаційної позиції, що відповідає вільному й усвідомленому професійному са ...

Особливості екологічного виховання учнів ПТНЗ
Екологічне виховання – систематична педагогічна діяльність. Спрямована на розвиток в учнів ПТНЗ екологічної культури. Завдання екологічного виховання в ПТНЗ: - сприяти нагромадженню екологічних знань ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net