Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 8

Розглянемо нерівність . Це нерівність із додатними членами ( і ), отже, обидві її частини можна прологарифмувати. Оскільки функція є зростаючою, то після логарифмування обох частин за основою знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність , тобто нерівність . Оскільки то після ділення обох частин останньої нерівності на знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність . Помічаємо,що в лівій і правій частинах останньої нерівності стоять значення однієї і тієї самої функції Дослідимо цю функцію за допомогою похідної на зростання і спадання. Далі, враховуючи,що , порівняємо одержані вирази, а потім і задані вирази (виконуючи всі ті самі перетворення, що і в процесі аналізу, тільки у зворотному порядку).

Розв’язання.

Розглянемо функцію Її область визначення: . Похідна існує на всій області визначення. З’ясуємо, коли : Тоді на області визначення одержуємо рівносильне рівняння , тобто - критична точка. Відмічаємо критичну точку на області визначення функції і знаходимо знаки похідної та поведінку функції в кожному з одержаних проміжків (рис.2.4).

Рис.2.4 Нулі на ОДЗ і знаки у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ

Отже, в інтервалі функція спадає, а враховуючи її неперервність на всій області визначення, вона також спадає на проміжку . Оскільки , то , тобто . Домноживши обидві частини цієї нерівності на додатне число (знак нерівності не змінюється), одержуємо нерівність . Тоді . Оскільки функція є зростаючою (, то .

Відповідь: .

При доведенні деяких нерівностей інколи вдається використати другу похідну і опуклість відповідних функцій.

Приклад 6. Доведіть, що при всіх виконується нерівність .

Страницы: 3 4 5 6 7 8 9



Проблема учнівського самоврядування на сучасному етапі розвитку школи
Соціально-економічні зміни, які відбуваються сьогодні у всіх сферах життя, охоплюють широкий спектр відношень суспільства і особистості. З одного боку, ці відношення стають більш жорсткими і потребую ...

Характеристика поняття «Культура мовлення»
Культура мовлення (спілкування) — це дотримання усталених мовних норм усної і писемної літературної мови, а також свідоме, цілеспрямоване, майстерне використання мовно-виражальних засобів залежно від ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net