Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Розглянемо нерівність . Це нерівність із додатними членами ( і ), отже, обидві її частини можна прологарифмувати. Оскільки функція є зростаючою, то після логарифмування обох частин за основою знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність , тобто нерівність . Оскільки то після ділення обох частин останньої нерівності на знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність . Помічаємо,що в лівій і правій частинах останньої нерівності стоять значення однієї і тієї самої функції Дослідимо цю функцію за допомогою похідної на зростання і спадання. Далі, враховуючи,що , порівняємо одержані вирази, а потім і задані вирази (виконуючи всі ті самі перетворення, що і в процесі аналізу, тільки у зворотному порядку).

Розв’язання.

Розглянемо функцію Її область визначення: . Похідна існує на всій області визначення. З’ясуємо, коли : Тоді на області визначення одержуємо рівносильне рівняння , тобто - критична точка. Відмічаємо критичну точку на області визначення функції і знаходимо знаки похідної та поведінку функції в кожному з одержаних проміжків (рис.2.4).

Рис.2.4 Нулі на ОДЗ і знаки у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ

Отже, в інтервалі функція спадає, а враховуючи її неперервність на всій області визначення, вона також спадає на проміжку . Оскільки , то , тобто . Домноживши обидві частини цієї нерівності на додатне число (знак нерівності не змінюється), одержуємо нерівність . Тоді . Оскільки функція є зростаючою (, то .

Відповідь: .

При доведенні деяких нерівностей інколи вдається використати другу похідну і опуклість відповідних функцій.

Приклад 6. Доведіть, що при всіх виконується нерівність .