Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Педагогіка: історія і сьогодення » Застосування похідної для доведення рівностей та нерівностей в курсі математики середньої школи » Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей

Сторінка 8

Розглянемо нерівність . Це нерівність із додатними членами ( і ), отже, обидві її частини можна прологарифмувати. Оскільки функція є зростаючою, то після логарифмування обох частин за основою знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність , тобто нерівність . Оскільки то після ділення обох частин останньої нерівності на знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність . Помічаємо,що в лівій і правій частинах останньої нерівності стоять значення однієї і тієї самої функції Дослідимо цю функцію за допомогою похідної на зростання і спадання. Далі, враховуючи,що , порівняємо одержані вирази, а потім і задані вирази (виконуючи всі ті самі перетворення, що і в процесі аналізу, тільки у зворотному порядку).

Розв’язання.

Розглянемо функцію Її область визначення: . Похідна існує на всій області визначення. З’ясуємо, коли : Тоді на області визначення одержуємо рівносильне рівняння , тобто - критична точка. Відмічаємо критичну точку на області визначення функції і знаходимо знаки похідної та поведінку функції в кожному з одержаних проміжків (рис.2.4).

Рис.2.4 Нулі на ОДЗ і знаки у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ

Отже, в інтервалі функція спадає, а враховуючи її неперервність на всій області визначення, вона також спадає на проміжку . Оскільки , то , тобто . Домноживши обидві частини цієї нерівності на додатне число (знак нерівності не змінюється), одержуємо нерівність . Тоді . Оскільки функція є зростаючою (, то .

Відповідь: .

При доведенні деяких нерівностей інколи вдається використати другу похідну і опуклість відповідних функцій.

Приклад 6. Доведіть, що при всіх виконується нерівність .

Страницы: 3 4 5 6 7 8 9



Проектування кваліфікаційної характеристики фахівця
Щоб більш детально визначити систему виробничого навчання необхідно встановити місця працевлаштування фахівця та визначити його професіональні дії. Професійне призначення та умови використання фахівц ...

Аналіз навчальної програми і підручника з курсу «Основи здоров'я »
Зміна цілей і цінностей сучасної освіти, яка відбулася останніми роками, засвідчує потребу у новому розумінні педагогами ролі здоров'я в організації навчально-виховного процесу, оцінці його результат ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net