Розглянемо нерівність . Це нерівність із додатними членами (
і
), отже, обидві її частини можна прологарифмувати. Оскільки функція
є зростаючою, то після логарифмування обох частин за основою
знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність
, тобто нерівність
. Оскільки
то після ділення обох частин останньої нерівності на
знак нерівності не зміниться, і ми одержимо нерівність
. Помічаємо,що в лівій і правій частинах останньої нерівності стоять значення однієї і тієї самої функції
Дослідимо цю функцію за допомогою похідної на зростання і спадання. Далі, враховуючи,що
, порівняємо одержані вирази, а потім і задані вирази (виконуючи всі ті самі перетворення, що і в процесі аналізу, тільки у зворотному порядку).
Розв’язання.
Розглянемо функцію Її область визначення:
. Похідна
існує на всій області визначення. З’ясуємо, коли
:
Тоді на області визначення одержуємо рівносильне рівняння
, тобто
- критична точка. Відмічаємо критичну точку на області визначення функції
і знаходимо знаки похідної та поведінку функції в кожному з одержаних проміжків (рис.2.4).
Рис.2.4 Нулі на ОДЗ і знаки у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ
Отже, в інтервалі функція
спадає, а враховуючи її неперервність на всій області визначення, вона також спадає на проміжку
. Оскільки
, то
, тобто
. Домноживши обидві частини цієї нерівності на додатне число
(знак нерівності не змінюється), одержуємо нерівність
. Тоді
. Оскільки функція
є зростаючою (
, то
.
Відповідь: .
При доведенні деяких нерівностей інколи вдається використати другу похідну і опуклість відповідних функцій.
Приклад 6. Доведіть, що при всіх виконується нерівність
.
Суть і природа моралі, поняття про моральний розвиток
У короткому словнику по філософії поняття моральності прирівняне до поняття мораль. «Мораль - норми, принципи, правила поведінки людей, а так само сама людська поведінка (мотиви вчинків, результати д ...
Побудова нестандартних уроків як акцентуація розвитку творчих здібностей
Відомо, що будь-який урок — це складне педагогічне явище, витвір вчителя, на якому учні демонструють свої знання, уміння та навички. Чи цікаво дітям на уроці? Чи люблять вони вчитися? На ці питання н ...
Читання як вид навчальної діяльності
Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>