Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Сторінка 1

Розглянемо декілька типів рівнянь, в яких використовуються похідні. Серед них рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має розв’язок те чи інше рівняння. Ці рівняння зводяться до знаходження екстремальних значень функції або до знаходження їх областей значень.

Приклад 1. При якому значенні має розв’язки рівняння

.

Розв’язання. Область визначення даного рівняння - проміжок . Розглянемо на ньому функцію f:

Тоді на інтервалі

,

так що 8/3 єдина критична точка функції f, яка є до того ж точкою максимуму, оскільки f (2) = 2, f (4) = , f (8/3) = . Отже, f приймає найбільше значення при х = 8/3, а найменше значення - при х = 4. Так як функція f неперервна, то її область значень є проміжок між її найбільшим і найменшим значенням, тобто дане рівняння має розв’язок, якщо .

Відповідь.

Приклад 2. Скільки розв’язків має рівняння ?

Розв’язання. Область визначення даного рівняння - інтервал . Розглянемо на цьому проміжку функцію f

Тоді .

Враховуючи область визначення, маємо . Таким чином, функція f зростаюча, так що дане рівняння не може мати більше одного розв’язку.

З іншого боку, взявши будь - яке велике значення х, наприклад,

х = 200, маємо так що f як неперервна функція приймає всі значення між і , в тому числі і значення 4. Відповідь. Рівняння має лише 1 корінь.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

ОДЗ: . Побудувавши графіки функцій і ми помітили б, що рівняння має два корені. Безпосереднім підбором і перевіркою, знаходимо, що коренями рівняння є х = 0 і х = 2. За допомогою похідної можна довести, що інших коренів немає.

Розглянемо функцію і покажемо що в неї лише одна критична точка, тобто ця функція має лише 2 інтервали (зростання і спадання), отже має 2 корені, які ми вже знайшли.

існує на всій області визначення ()

Відповідь.

3.2 Використання похідної для пошуку існування та значень коренів рівнянь

Страницы: 1 2 3 4 5 6



Історично-культурологічні передумови появи духових інструментів
Гуртова гра на духових музичних інструментах (оркестрова гра) належить до найдревніших проявів начал естетичного розвитку суспільної людини. Значно розширюючи діапазон гармонічного звучання людського ...

Поняття позаурочної, позакласної та позашкільної роботи
Важлива роль у вихованні учнів, розширенні й поглибленні їхніх знань, розвиткові творчих здібностей належить спеціально організованій виховній роботі у позанавчальний час. Таку роботу називають позак ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net