Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Сторінка 2

Покажемо, як за допомогою похідної можна вирішувати питання існування коренів рівняння, а в деяких випадках і їхнього відшукання. Як і раніше основну роль тут будуть грати дослідження функції на монотонність, знаходження її екстремальних значень. Крім того, буде використаний ряд властивостей монотонних і неперервних функцій.

Властивість 1. Якщо функція зростає або спадає на деякому проміжку, то на цьому інтервалу рівняння має не більше одного кореня.

Це твердження випливає безпосередньо з визначення зростаючої й спадної функцій. Корінь рівняння дорівнює абсцисі точки перетинання графіка функції з віссю .

Властивість 2. Якщо функція f визначена й неперервна на проміжку й на його кінцях приймає значення різних знаків, то між і найдеться точка , у якій .

Приведемо оцінки значень лівої та правої частин рівняння

Якщо потрібно розв’язати рівняння виду і з ясувалося, що , , то рівність між лівою і правою частинами рівняння можлива лише у випадку, якщо одночасно і дорівнюють .

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння .

Оцінимо означення лівої і правої частини рівняння.

.

Дослідимо функцію на найбільше та найменше значення за допомогою похідної.

, тобто .

Похідна не існує в точках 1 і 3 з області визначення функції , але ці точки не є внутрішніми для , отже, вони не є критичними.

критична точка ().

Неперервна функція задана на проміжку , тому вона набуває найбільшого та найменшого значень або на кінцях цього проміжка, або в критичній точці з цього проміжка. Оскільки , а то

тобто . Крім того, , отже, задане рівняння рівносильне системі

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Принципи роботи з важкими учнями А.С. Макаренка
А.С. Макаренко вніс вагомий доробок у теорію й методику виховання та перевиховання дітей-сиріт і безпритульних дітей. Методи психоморальної адаптації в дитячому колективі, які він розробив і випробув ...

Історично-культурологічні передумови появи духових інструментів
Гуртова гра на духових музичних інструментах (оркестрова гра) належить до найдревніших проявів начал естетичного розвитку суспільної людини. Значно розширюючи діапазон гармонічного звучання людського ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net