Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Сторінка 2

Покажемо, як за допомогою похідної можна вирішувати питання існування коренів рівняння, а в деяких випадках і їхнього відшукання. Як і раніше основну роль тут будуть грати дослідження функції на монотонність, знаходження її екстремальних значень. Крім того, буде використаний ряд властивостей монотонних і неперервних функцій.

Властивість 1. Якщо функція зростає або спадає на деякому проміжку, то на цьому інтервалу рівняння має не більше одного кореня.

Це твердження випливає безпосередньо з визначення зростаючої й спадної функцій. Корінь рівняння дорівнює абсцисі точки перетинання графіка функції з віссю .

Властивість 2. Якщо функція f визначена й неперервна на проміжку й на його кінцях приймає значення різних знаків, то між і найдеться точка , у якій .

Приведемо оцінки значень лівої та правої частин рівняння

Якщо потрібно розв’язати рівняння виду і з ясувалося, що , , то рівність між лівою і правою частинами рівняння можлива лише у випадку, якщо одночасно і дорівнюють .

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння .

Оцінимо означення лівої і правої частини рівняння.

.

Дослідимо функцію на найбільше та найменше значення за допомогою похідної.

, тобто .

Похідна не існує в точках 1 і 3 з області визначення функції , але ці точки не є внутрішніми для , отже, вони не є критичними.

критична точка ().

Неперервна функція задана на проміжку , тому вона набуває найбільшого та найменшого значень або на кінцях цього проміжка, або в критичній точці з цього проміжка. Оскільки , а то

тобто . Крім того, , отже, задане рівняння рівносильне системі

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Вплив емоцій на ефективність навчального процесу
Які б умови та детермінанти не визначали життя та діяльність людини - внутрішньо, психологічно, - дійовими вони стають лише тоді, коли їм вдається проникнути у сферу її емоційних відносин і закріпити ...

Спортивно-ігрова форма організації занять з фізичної підготовки
Організація занять з фізичної підготовки в значній мірі визначається фізичним та психічним розвитком дітей, що підтверджується науковими дослідженнями і педагогічною практикою. В переважній більшості ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net