Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Сторінка 4

Зазначимо, що використання похідної також дозволяє при розв’язуванні деяких рівнянь реалізувати таку схему міркувань.

Припустимо, ми змогли підібрати два корені заданого рівняння виду . Щоб довести, що рівняння не має інших коренів, достатньо впевнитися, що функція має тільки два інтервали зростання чи спадання (на кожному з них рівняння може мати тільки один корінь). Якщо функція диференційована на якомусь інтервалу, то характер зростання чи спадання функції на цьому інтервалу може змінитися тільки в її критичних точках. Наприклад, якщо в точках зростання диференційованої (а отже, і неперервної) функції змінилося на спадання, то це означає, що в точці функція має максимум, але тоді - критична точка. Таким чином, для того щоб диференційована на проміжку функція мала на цьому проміжку не більше двох проміжків зростання чи спадання, достатньо, щоб на цьому проміжку вона мала тільки одну критичну точку.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння

Наведемо перед розв’язанням рівняння коментар.

Оскільки у нас немає формул, які б дозволяли перетворювати одночасно і показникові, і тригонометричні вирази, то спробуємо розв’язати задане рівняння, використовуючи властивості відповідних функцій, зокрема, спробуємо оцінити область значень функцій, які стоять у лівій і правій частинах рівняння. Для функції, яка стоїть у правій частині рівняння, це легко зробити і без похідної, а для дослідження функції, що стоїть у лівій частині рівняння, зручно використати похідну.

Розв’язання

ОДЗ заданого рівняння - усі дійсні числа . Оцінимо ліву і праву частини рівняння. Оскільки набуває всіх значень від (-1) до 1, то набуває всіх значень від до 2. Тоді функція набуває всіх значень від 0 до 6. Отже, .

Функція дослідимо за допомогою похідної. .

існує на всій області визначення функції

Оскільки то - критична точка. Відмічаємо критичну точку на області визначення функції і знаходимо знаки похідної в кожному з одержаних проміжків (рис.3.3.).

Рис.3.3 До пошуку знаків похідної в кожному з одержаних проміжків

Неперервна функція має на проміжку тільки одну критичну точку, і це точка мінімуму (у ній похідна змінює знак з мінуса на плюс). Тоді в цій точці функція набуває свого найменшого значення Отже,

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Санітарно-гігієнічні норми та правила безпечної роботи при виконанні петриківського розпису
Робоче місце школяра має забезпечувати зручність виконання графічних робіт і сприятливі умови для його правильного фізичного розвитку. Виконуючи графічні побудови, учень проводить різні за своєю довж ...

Програма гуртка журналістики
В наш час збільшується потік інформації, підвищується інтерес підлітків до інформаційних технологій. Але і знижується інтерес до читання, літературної і публіцистичної творчості. Страждають від цього ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net