Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Сторінка 5

Враховуючи, що , одержуємо, що задане рівняння рівносильне системі Але значення 6 функція набуває тільки при , що задовольняє і другому рівнянню системи ().

Отже, одержана система (а значить, і задане рівняння) має єдиний розв’язок .

Відповідь: 1.

Зазначимо, що рівняння (1) можна розв’язати ще одним способом.

Зокрема, задане рівняння можна записати так: Заміна , де , дає рівняння яке при рівносильне рівнянню

(2)

Якщо рівняння (2) розглянути як квадратне відносно змінної , то для існування коренів його дискримінант повинен бути невід ємним. Отже, Тоді а, враховуючи,що завжди, одержуємо тобто . Але в останній нерівності знак „більше" не може виконуватися (значення косинусу не бувають більші за 1), отже,

(3)

Тоді рівняння (2) перетворюється на рівняння тобто

Обернена заміна дає: отже, що задовольняє і рівнянню (3).

Відповідь: 1.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння .

Наведемо перед розв’язанням рівняння коментар.

Якщо спробувати застосувати до заданого рівняння схему розв’язування показникових рівнянь, то вдається реалізувати тільки перший її пункт - позбутися числових доданків у показниках степенів. А от звести всі степені до однієї основи (із зручними показниками) чи до двох основ так, щоб одержаний вираз на множини вдається. Залишається єдина можливість - застосувати властивість відповідних функцій. Але і на цьому шляху нам не вдається використати скінченність ОДЗ (вона нескінченна), оцінку лівої і правої частин рівняння (вони обидві в межах від до ). Залишається тільки сподіватися на можливість використання монотонності функції. Хоча і тут ми не можемо використати теореми про корені (в обох частинах заданого рівняння стоять зростаючі функції). Тоді спробуємо підібрати корені цього рівняння і довести, що інших коренів воно не має (зручно попередньо звести рівняння до виду ). Послідовно підставляючи з'ясовуємо, що тобто рівняння має три корені. Щоб довести, що інших коренів немає, достатньо довести, що у функції не більше трьох проміжків зростання або спадання; а, враховуючи неперервність на всій числовій прямій, для цього достатньо довести, що у неї не більше двох критичних точок, тобто рівняння має не більше двох коренів. Розглядаючи тепер рівняння , ми після його перетворення можемо провести аналогічні міркування, але вже для двох коренів. Виконуючи перетворення рівняння , врахуємо, що всі його члени мають однаковий степінь (тобто воно є однорідним відносно трьох функцій від змінної , а саме: ). За допомогою ділення обох частин рівняння на ступінь з основою 2,3 або 4 вдається зменшити кількість виразів із змінною на один.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Відбір вправ з розвитку мовлення учнів при вивченні теми «Прислівник»
Для успішної реалізації навчальних завдань у процесі вивчення теми «Прислівник» потрібно запроваджувати наявні активні методи навчання, що стимулюють позитивну мотивацію роботи та забезпечують розумо ...

Якості необхідні для формування інноваційної культури педагога
Проте частіше за все дослідники підкреслюють, що в тих сферах суспільно значущої діяльності, де неодмінною умовою є прояв особистих якостей, - в мистецтві, науці і, звичайно, у сфері освіти, - найваж ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net