Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Сторінка 5

Враховуючи, що , одержуємо, що задане рівняння рівносильне системі Але значення 6 функція набуває тільки при , що задовольняє і другому рівнянню системи ().

Отже, одержана система (а значить, і задане рівняння) має єдиний розв’язок .

Відповідь: 1.

Зазначимо, що рівняння (1) можна розв’язати ще одним способом.

Зокрема, задане рівняння можна записати так: Заміна , де , дає рівняння яке при рівносильне рівнянню

(2)

Якщо рівняння (2) розглянути як квадратне відносно змінної , то для існування коренів його дискримінант повинен бути невід ємним. Отже, Тоді а, враховуючи,що завжди, одержуємо тобто . Але в останній нерівності знак „більше" не може виконуватися (значення косинусу не бувають більші за 1), отже,

(3)

Тоді рівняння (2) перетворюється на рівняння тобто

Обернена заміна дає: отже, що задовольняє і рівнянню (3).

Відповідь: 1.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння .

Наведемо перед розв’язанням рівняння коментар.

Якщо спробувати застосувати до заданого рівняння схему розв’язування показникових рівнянь, то вдається реалізувати тільки перший її пункт - позбутися числових доданків у показниках степенів. А от звести всі степені до однієї основи (із зручними показниками) чи до двох основ так, щоб одержаний вираз на множини вдається. Залишається єдина можливість - застосувати властивість відповідних функцій. Але і на цьому шляху нам не вдається використати скінченність ОДЗ (вона нескінченна), оцінку лівої і правої частин рівняння (вони обидві в межах від до ). Залишається тільки сподіватися на можливість використання монотонності функції. Хоча і тут ми не можемо використати теореми про корені (в обох частинах заданого рівняння стоять зростаючі функції). Тоді спробуємо підібрати корені цього рівняння і довести, що інших коренів воно не має (зручно попередньо звести рівняння до виду ). Послідовно підставляючи з'ясовуємо, що тобто рівняння має три корені. Щоб довести, що інших коренів немає, достатньо довести, що у функції не більше трьох проміжків зростання або спадання; а, враховуючи неперервність на всій числовій прямій, для цього достатньо довести, що у неї не більше двох критичних точок, тобто рівняння має не більше двох коренів. Розглядаючи тепер рівняння , ми після його перетворення можемо провести аналогічні міркування, але вже для двох коренів. Виконуючи перетворення рівняння , врахуємо, що всі його члени мають однаковий степінь (тобто воно є однорідним відносно трьох функцій від змінної , а саме: ). За допомогою ділення обох частин рівняння на ступінь з основою 2,3 або 4 вдається зменшити кількість виразів із змінною на один.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Аналіз навчальної програми і підручника з курсу «Основи здоров'я »
Зміна цілей і цінностей сучасної освіти, яка відбулася останніми роками, засвідчує потребу у новому розумінні педагогами ролі здоров'я в організації навчально-виховного процесу, оцінці його результат ...

Типи екологічної культури
Розрізняються два типи екологичної культури: антропоцентричний та природоцентричний. Основу першого складає антропоцентрична парадигма (“antropos” - людина, “centron” - центр), яка має своїми витокам ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net