Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Сторінка 5

Враховуючи, що , одержуємо, що задане рівняння рівносильне системі Але значення 6 функція набуває тільки при , що задовольняє і другому рівнянню системи ().

Отже, одержана система (а значить, і задане рівняння) має єдиний розв’язок .

Відповідь: 1.

Зазначимо, що рівняння (1) можна розв’язати ще одним способом.

Зокрема, задане рівняння можна записати так: Заміна , де , дає рівняння яке при рівносильне рівнянню

(2)

Якщо рівняння (2) розглянути як квадратне відносно змінної , то для існування коренів його дискримінант повинен бути невід ємним. Отже, Тоді а, враховуючи,що завжди, одержуємо тобто . Але в останній нерівності знак „більше" не може виконуватися (значення косинусу не бувають більші за 1), отже,

(3)

Тоді рівняння (2) перетворюється на рівняння тобто

Обернена заміна дає: отже, що задовольняє і рівнянню (3).

Відповідь: 1.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння .

Наведемо перед розв’язанням рівняння коментар.

Якщо спробувати застосувати до заданого рівняння схему розв’язування показникових рівнянь, то вдається реалізувати тільки перший її пункт - позбутися числових доданків у показниках степенів. А от звести всі степені до однієї основи (із зручними показниками) чи до двох основ так, щоб одержаний вираз на множини вдається. Залишається єдина можливість - застосувати властивість відповідних функцій. Але і на цьому шляху нам не вдається використати скінченність ОДЗ (вона нескінченна), оцінку лівої і правої частин рівняння (вони обидві в межах від до ). Залишається тільки сподіватися на можливість використання монотонності функції. Хоча і тут ми не можемо використати теореми про корені (в обох частинах заданого рівняння стоять зростаючі функції). Тоді спробуємо підібрати корені цього рівняння і довести, що інших коренів воно не має (зручно попередньо звести рівняння до виду ). Послідовно підставляючи з'ясовуємо, що тобто рівняння має три корені. Щоб довести, що інших коренів немає, достатньо довести, що у функції не більше трьох проміжків зростання або спадання; а, враховуючи неперервність на всій числовій прямій, для цього достатньо довести, що у неї не більше двох критичних точок, тобто рівняння має не більше двох коренів. Розглядаючи тепер рівняння , ми після його перетворення можемо провести аналогічні міркування, але вже для двох коренів. Виконуючи перетворення рівняння , врахуємо, що всі його члени мають однаковий степінь (тобто воно є однорідним відносно трьох функцій від змінної , а саме: ). За допомогою ділення обох частин рівняння на ступінь з основою 2,3 або 4 вдається зменшити кількість виразів із змінною на один.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7



Значення та суть дослідницького методу в пізнанні оточуючої природи
За даними дошкільної педагогіки у ставленні дошкільнят до пошуково-дослідницької діяльності до природи переважає когнітивний компонент. Отож активність дитини доцільніше розвивати у пізнавальній діял ...

Передовий педагогічний досвід і впровадження досягнень педагогічної науки
Педагогічний досвід - це система педагогічних знань, умінь і навичок, способів здійснення творчої педагогічної діяльності, емоційно-ціннісних ставлень, здобутих у прощ практичної навчально-виховної р ...

Читання як вид навчальної діяльності

Громадянська освіта

Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.pedahohikam.net