Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні

Розв’язання

Задане рівняння рівносильне рівнянню тобто

(1)

Позначимо Оскільки то рівняння має три корені: 0,1,3. Доведемо,що інших коренів у рівняння (1) немає. Для цього достатньо довести, що у функції є не більше трьох проміжків зростання або спадання, а, враховуючи неперервність функції на всій числовій прямій, достатньо довести, що функція має не більше двох критичних точок.

Область визначення:

Похідна існує при всіх значеннях . Отже, критичними точками можуть бути тільки ті значення , при яких . Одержуємо рівняння . Оскільки , то після ділення обох частин останнього рівняння на одержуємо рівносильне рівняння

(2)

Щоб довести, що рівняння (2) має не більше двох коренів, достатньо довести, що функція , яка стоїть у лівій частині рівняння, має не більше двох проміжків зростання чи спадання, а враховуючи неперервність цієї функції на всій числовій прямій, достатньо довести, що вона має тільки одну критичну точку.

Дійсно існує при всіх значеннях . Отже, критичними точками можуть бути тільки ті значення , при яких Одержуємо однорідне рівняння

Оскільки

то після ділення обох частин рівняння на цей вираз одержуємо рівносильне рівняння

Звідси

Враховуючи, що а одержуємо

Отже, останнє рівняння має єдиний корінь. Тоді функція має єдину критичну точку і тому рівняння (2) має не більше двох коренів. Це означає,що функція має не більше двох критичних точок. Тоді рівняння (1) (а значить, і задане рівняння) має не більше трьох коренів. Але три корені заданого рівняння ми вже знаємо: 0,1,3. Отже, інших коренів задане рівняння не має.

Відповідь: 0,1,3.

Приклад 6. Розв’яжіть систему рівнянь

Наведемо перед розв’язанням рівняння коментар.

Розв’язати задану систему за допомогою рівносильних перетворень не вдається. Тому спробуємо використати властивості функцій.

Якщо в першому рівнянні системи члени із змінною перенести в один бік, а з в інший, то одержимо в лівій і правій частинах рівняння значення однієї і тієї самої функції. За допомогою похідної легко перевірити, що ця функція є зростаючою. Але рівність для зростаючої функції можлива тоді і тільки тоді, коли , оскільки кожне своє значення зростаюча (чи спадна) функція може набувати тільки при одному значенні аргументу. Коротко цей результат можна сформулювати так: якщо функція є зростаючою (або спадною) на певній множині, то на цій множині