Розв’язання
Задане рівняння рівносильне рівнянню тобто
(1)
Позначимо Оскільки
то рівняння
має три корені: 0,1,3. Доведемо,що інших коренів у рівняння (1) немає. Для цього достатньо довести, що у функції
є не більше трьох проміжків зростання або спадання, а, враховуючи неперервність функції
на всій числовій прямій, достатньо довести, що функція має не більше двох критичних точок.
Область визначення:
Похідна існує при всіх значеннях
. Отже, критичними точками можуть бути тільки ті значення
, при яких
. Одержуємо рівняння
. Оскільки
, то після ділення обох частин останнього рівняння на
одержуємо рівносильне рівняння
(2)
Щоб довести, що рівняння (2) має не більше двох коренів, достатньо довести, що функція , яка стоїть у лівій частині рівняння, має не більше двох проміжків зростання чи спадання, а враховуючи неперервність цієї функції на всій числовій прямій, достатньо довести, що вона має тільки одну критичну точку.
Дійсно існує при всіх значеннях
. Отже, критичними точками можуть бути тільки ті значення
, при яких
Одержуємо однорідне рівняння
Оскільки
то після ділення обох частин рівняння на цей вираз одержуємо рівносильне рівняння
Звідси
Враховуючи, що а
одержуємо
Отже, останнє рівняння має єдиний корінь. Тоді функція має єдину критичну точку і тому рівняння (2) має не більше двох коренів. Це означає,що функція
має не більше двох критичних точок. Тоді рівняння (1) (а значить, і задане рівняння) має не більше трьох коренів. Але три корені заданого рівняння ми вже знаємо: 0,1,3. Отже, інших коренів задане рівняння не має.
Відповідь: 0,1,3.
Приклад 6. Розв’яжіть систему рівнянь
Наведемо перед розв’язанням рівняння коментар.
Розв’язати задану систему за допомогою рівносильних перетворень не вдається. Тому спробуємо використати властивості функцій.
Якщо в першому рівнянні системи члени із змінною перенести в один бік, а з
в інший, то одержимо в лівій і правій частинах рівняння значення однієї і тієї самої функції. За допомогою похідної легко перевірити, що ця функція є зростаючою. Але рівність
для зростаючої функції можлива тоді і тільки тоді, коли
, оскільки кожне своє значення зростаюча (чи спадна) функція може набувати тільки при одному значенні аргументу. Коротко цей результат можна сформулювати так: якщо функція
є зростаючою (або спадною) на певній множині, то на цій множині
Рівні готовності майбутніх учителів початкових
класів до формування естетичного досвіду молодших школярів
Результати теоретичного аналізу проблеми підготовки вчителів початкових класів до формування естетичного досвіду дитини виявили значущість феномену естетичного досвіду в особистому становленні молодш ...
Особливості формування здорового способу життя
учнів ПТНЗ
Вивчення практики реалізації формування здорового способу життя учнів ПТНЗ дозволив виділити основні напрями розв’язання даної проблеми: формування здорового способу життя у навчальній діяльності (у ...
Читання як вид навчальної діяльності
Читання - основний засіб навчання, інструмент пізнання навколишнього світу. >>>